מושב אבן מנחם הוקם בשנת תש"ך (1960) בגליל המערבי. בתחילה נקרא שומֵרה ב' על שום סמיכותו למושב שומֵרה, ולבסוף נקרא על שמו של ד"ר ארתור מנחם הנטקה (נפטר בתשרי תשט"ז [1955]), מראשי ההסתדרות הציונית בגרמניה ו'קרן היסוד'.

הקידומת אֶבֶן נבחרה על פי נופו הסַלעי של המקום ובשונה מיישובים אחרים שיש בשמם הקידומת 'אבן': אבן יהודה (בשרון) – בנוטריקון שמו של אליעזר בן יהודה; אבן ספיר (בהרי ירושלים) – כשמו של ספר המסעות הנודע של ר' יעקב ספיר; אבן שמואל (בשפלת יהודה); אבני איתן (בגולן) – ראשי תיבות של שמות שישה מחברי גרעין שנפלו במערכות ישראל; אבני חפץ (בשומרון) – על פי "וְכָל גְּבוּלֵךְ לְאַבְנֵי חֵפֶץ" (ישעיהו נד, יב).